Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Если в выражениях для x и y взять одинаковые знаки, например плюс, то получим систему

откуда следует

tg (α + ^π/₃) = tg α или ctg (α + ^π/₃) = ctg α,

что неверно при всех α.

Если взять разные знаки, то

sin (α + ^π/₃) + sin (α − ^π/₃) = 2 sin α cos ^π/₃ = sin α,

cos (α + ^π/₃) + cos (α − ^π/₃) = 2 cos α cos ^π/₃ = cos α,

т. е. каждое уравнение системы превращается в тождество.

Ответ.

где берутся или только верхние, или только нижние знаки.

Замечание. Найдя y = α + 2nπ ± ^π/₃, можно было искать x с помощью подстановки. Однако это не избавило бы нас от необходимости делать проверку, так как в процессе решения уравнения возводились в квадрат.

13.38. Первое уравнение перепишем в виде

sin (x − y) − cos (x + y) = 2a.

Из второго найдем

cos (x + y) = cos [2 arcsin (a + ½)] = 1 − 2 sin² [arcsin (a + ½)] = 1 − 2(a + ½)² = ½ − 2a² − 2a.

Следовательно,

sin (x − y) = 2a + cos (x + y) = ½ − 2a² = ^{1 − 4a}²/₂.

Прежде чем решать систему

выясним, при каких а она имеет решение.

Первоначальная система накладывает на параметр а такие ограничения: |а| ≤ 1, | а + ½| ≤ 1, где первое — следствие того, что в левой части первого уравнения стоит произведение синуса и косинуса, а второе — следствие определения арксинуса.

Поскольку при преобразованиях исходной системы равносильность не нарушалась, то нет необходимости учитывать первоначальные ограничения, так как они будут содержаться в ограничениях системы (4):

Итак, если параметр а лежит на интервале −^√3/₂ ≤ а ≤ ½, то систему (4) можно переписать в виде

Решая эту систему, найдем x и y. Остается сделать проверку.

Ответ. При −^√3/₂ ≤ а ≤ ½

13.39. Обозначим tg² x = u, tg² y = v. Тогда в левой части уравнения получим u² + v² + ²/_uv. Это выражение не может стать меньше, чем 2uv + ²/_uv, так как u² + v² ≥ 2uv. Выражение 2uv + ²/_uv тоже легко оценить:

2[uv + ¹/_uv] ≥ 4,

причем равенство в первом и во втором случаях достигается лишь при u = v = 1.

Таким образом, сумма, стоящая в левой части равенства, не может стать меньше 4, в то время как правая часть этого равенства не может превзойти 4. Остается единственная возможность: обе части равенства одновременно равны 4. Получаем систему

Второму уравнению удовлетворяют значения x = ±^π/₄ + kπ, y = ±^π/₄ + nπ, где знаки берутся в произвольных сочетаниях. Однако первое уравнение будет удовлетворяться только в том случае, когда в выражениях для x и y взяты одинаковые знаки.

Ответ.

13.40. Способ 1. Умножив sin² x на sin² 3x + cos² 3x = 1 и сгруппировав члены, содержащие sin² 3x, получим

sin² x

cos² 3x + sin² 3x(sin² x − sin x + ¼) = 0,

или

sin² x cos² 3x + sin² 3x(sin x − ½)² = 0.

Последнее уравнение эквивалентно системе

Корни первого уравнения найти нетрудно:

x₁ — nπ, x₂ = ^π/₆ + ⁿπ/₃.

Подставляя x₁ во второе уравнение, убеждаемся, что оно удовлетворяется при этих значениях неизвестного. Подставляя во второе уравнение x₂, получим

sin (^π/₂ + nπ) [sin (^π/₆ + ⁿπ/₃) − ½] = 0.

Так как первый сомножитель никогда не обращается в нуль, то последнее равенство можно записать так:

sin (^π/₆ + ^nπ/₃) = sin ^π/₆.

Воспользовавшись условием равенства синусов (если sin α = sin β, то либо α − β = 2kπ, либо α + β = (2k + 1)π), получим

^π/₃ + ^nπ/₃ = (2k + 1)π, откуда n = 6k + 2,

и

^nπ/₃ = 2kπ, откуда n = 6k.

Таким образом,

x₁ = nπ, x₂ = ^π/₆ + 2kπ, x₃ = ^5π/₆ + 2kπ.

Способ 2. Перепишем уравнение в виде

4 sin² x − 4 sin x sin² 3x + sin² 3x = 0,

т. е.

(2 sin x − sin² 3x)² + (sin² 3x − sin⁴ 3x) = 0.

Так как оба слагаемых неотрицательны, то

Из второго уравнения получим: либо sin 3x = 0 и x = ^nπ/₃, либо |sin 3x| = 1 и x = ^π/₆ + ^nπ/₃. Остается отобрать из этих решений те, которые удовлетворяют первому уравнению, что делается так же, как и в первом способе решения.

Способ 3. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно sin x. Тогда

Чтобы уравнение имело действительные решения, необходимо и достаточно потребовать неотрицательности дискриминанта

sin² 3x (sin² 3x − 1) ≥ 0.

Выражение в скобках не может стать положительным. Следовательно, остается лишь две возможности: либо sin² 3x = 0, либо sin² 3x = 1. Если sin² 3x = 0, то, подставляя в первоначальное уравнение, получим sin² x = 0, т. е. x = πk. Если sin² 3x = 1, то придем к квадратному уравнению

sin² x − sin x + ¼ = 0, откуда sin x = ½.

Ответ.nπ; ^π

/₆ + 2kπ; ^5π/₆ + 2kπ.

13.41. Способ 1. Преобразовав данное уравнение к функциям от ^x + y/₂ и ^{x − y}/₂ и дополнив полученное таким образом выражение до полного квадрата, придем к уравнению вида

(2 cos ^{x + y}/₂ − cos ^x − y/₂)² + sin² ^x − y/₂ = 0.

Это уравнение эквивалентно системе

Решая второе уравнение системы, найдем

^{x − y}/₂ = nπ,

откуда x − y = 2nπ, а x = y + 2nπ.

Подставляя найденное выражение для x в первое уравнение, получим

2 cos (y + nπ) − cos nπ = 0.

Число n может быть либо четным, либо нечетным. Если n = 2k, то уравнение примет вид 2 cos y − 1 = 0, откуда cos y = ½.

При n = 2k + 1 получим −2 cos y + 1 = 0, откуда снова cos y = ½. Таким образом,

y = 2πm ± ^π/₃, а x = y + 2nπ = 2π(n + m) ± ^π/₃.