Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

В этом случае n + m можно рассматривать как новое целочисленное переменное и записать ответ следующим образом:

Способ 2. Преобразовав уравнение к виду A cos y + В sin y = ³/₂ − cos x, где A = 1 − cos x, В = sin x (причем A и В не равны нулю одновременно), оценим его левую часть

Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо, чтобы

(1 − cos x)² + sin² x ≥ (³/₂ − cos x)²

или

cos² x − cos x + ¼ ≤ 0,    т. е. (cos x − ½) ≤ 0.

Так как квадрат некоторого выражения не может быть отрицательным, то cos x = ½, откуда

x = 2nπ ± ^π/₃.

Чтобы найти y, можно подставить найденные значения x в исходное уравнение. Однако достаточно заметить, что исходное уравнение симметрично относительно x и y. Следовательно, для второго неизвестного мы тоже получим

y = 2mπ ± ^π/₃.

Остается установить соответствие между найденными значениями x и y, что легко сделать проверкой, так как здесь нужно рассмотреть всего четыре различные возможности. Убеждаемся, что из четырех возможностей уравнению удовлетворяют только две, когда для x и y выбраны одинаковые знаки.

Ответ. x = 2nπ ± ^π/₃, y = 2mπ ± ^π/₃; где берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.

13.42. Способ 1. Задача сводится к отысканию таких а и b, при которых равенство

tg x + tg (а − x) + tg x tg (а − x) = b является неабсолютным тождеством. Обозначив tg x = z и tg а = с (в предположении, что а ≠ ^π/₂ (2n + 1)), получим

Перенеся все в левую часть и приведя к общему знаменателю, получим

Это уравнение относительно z является неабсолютным тождеством тогда и только тогда, когда многочлен, стоящий в числителе, обращается в нуль при всех z, кроме, быть может, одного значения z, обращающего в нуль знаменатель левой части, что равносильно тождественному равенству нулю этого многочлена. Так как условием тождественного равенства многочлена нулю является равенство нулю всех его коэффициентов, то получим с = 1, b = 1, т. е. b = 1, а = ^π/₄ + kπ. Случай а = (2n + 1)^π/₂ приводит к равенству tg x + ctg x = b − 1, которое является неабсолютным тождеством.

Способ 2. Равенство

tg x + tg (а − x) + tg x tg (а − x) = b

должно удовлетворяться тождественно по отношению к x. Положив x = 0, получим, что либо tg а = b, либо tg а не существует, т. е. а = (2n + 1)^π/₂. Аналогично для x = ^π/₄ получим, что либо tg (а − ^π/₄

) = ^b − 1/₂, либо а − ^π/₄ = ^π/₂ + πn, т. е. а = ^3π/₄ + πn.

Итак, если а ≠ (2n + 1)^π/₂ и а ≠ ^3π/₄ + πn, то получаем систему, которой должны удовлетворять а и b:

tg а = b,   tg (а − ^π/₄) = ^b − 1/₂.

Заменив во втором уравнении b на tg а, перепишем его в виде

откуда tg а = 1. Таким образом, b = 1, а = ^π/₄ + nπ. Проверим, будет ли при этих значениях а и b равенство, написанное в начале решения, неабсолютным тождеством. После подстановки получим

tg x + tg (^π/₄ + nπ − x) + tg x tg (^π/₄ + nπ − x) = 1

или

т. е. равенство

являющееся неабсолютным тождеством.

Остается рассмотреть исключенные значения параметра а. Если а = (2n + 1)

^π/₂, то приходим к равенству tg x + ctg x = b − 1, являющемуся неабсолютным тождеством. Когда а = ^3π/₄ + πn, то tg а = −1 и, следовательно, b = tg а = −1. При этом исходное равенство принимает вид

tg x + ctg (x − ^π/₄) + tg x ctg (x − ^π/₄) = −1.

Оно является неабсолютным тождеством, так как при ^π/₄ < x < ^π/₂ функции tg x и ctg (x − ^π/₄) положительны, а потому левая часть равенства не может быть равна −1.

Ответ.а = ^π/₄ + nπ, b = 1.

13.43. Оценим левую часть уравнения:

С увеличением cos² 2x это выражение растет. Поэтому оно будет достигать своего минимума, когда cos² 2x = 0. Таким образом, левая часть уравнения не может стать меньше 12,5.

Поскольку правая часть не может превзойти 12,5, то получаем систему

Ответ.

13.44. Представив данное уравнение в виде

sin 2x − sin x cos 2x = ³/₂,

оценим левую часть. Чтобы оценить выражение

A sin 2x + В cos 2x,

его нормируют, т. е. представляют в виде

Выражение, стоящее в скобках, можно записать как sin (2x + α), т. е. оно не превосходит по абсолютной величине единицу. В нашем случае A = 1, В

= −sin x. Поэтому

Так как левая часть рассматриваемого уравнения не превосходит √2, а правая часть равна 2, что больше √2, то данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Нет решений.

13.45. Раскроем скобки и произведем перегруппировку членов:

(sin x cos ^x/₄ + cos x sin ^x/₄) − (2 sin² x + 2 cos² x) + cos x = 0,

т. е.

sin ^5x/₄ + cos x = 2.

Так как sin ^5x/₄ ≤ 1 и cos x ≤ 1, то последнее уравнение равносильно системе

Решения второго уравнения x = 2πk подставим в первое уравнение. Выражение sin ^5πx/₂ перепишем в виде sin (2πk + ^5πx/₂) = sin ^πk/₂, откуда следует, что sin ^5x/₄ = 1 лишь при k = 4n + 1.

Ответ.x = 2π(4n + 1).

13.46. Введем новое неизвестное

Получим квадратное уравнение относительно y:

корни которого

Обозначим  и подставим в (6) вместо y его выражение (5) через x. Получим следствие исходного уравнения

т. е.

±z² + 4z − 5 = 0.    (7)

Решая каждое из квадратных уравнений (7), найдем два действительных корня: z₁ = −5, z₂ = 1. Из них подходит только 2 = 1. Следовательно,

cos (x − ^π/₄) = 1, откуда x = ^π/₄ + 2nπ.