Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Остается сделать проверку, которая осуществляется непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Ответ.x = ^π/₄ + 2nπ.

13.47. Система уравнений может быть переписана так:

Если cos x = 0, то x = (2k + 1)^π/₂ и, следовательно, cos 7x = 0. Поэтому первое уравнение равносильно уравнению cos 7 x = 0, т. е.

2 cos² ^7x/₂ = 1    и    cos² ^7x/₂ = ½.

Возведя второе уравнение системы в квадрат, получим теперь, что одновременно и cos² ^x/₂ = ½. Таким образом, исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем

в которых множество решений вторых уравнений входит в множество решений первых. (Докажите.) Это означает, что система сводится к совокупности двух вторых уравнений

cos ^x/₂ = ±¹/_√2, т. е. cos² ^x/₂ = ½,

откуда cos x = 0 и x = (2k + 1)^π/₂. Из найденной серии чисел отбираем те, которые удовлетворяют ограничению |x| < 5.

Ответ.x = ±^π/₂, ±^3π/₂.

13.48. Преобразуем левую часть уравнения, пользуясь тем, что tg x = ^{sin x}/_{cos x}, tg² x = ¹/_cos² x− 1, а cos x ≠ 0:

Для правой части уравнения получим

При cos x ≠ 0 и дополнительном ограничении cos 2x ≠ 0 приведем исходное уравнение к виду

2 sin x cos 2x + sin x = 2 + cos ^6x/₅.

Произведение 2 sin x cos 2x преобразуем в разность синусов. Тогда в левой части останется только sin 3x (так как 2sin x cos 2x = sin 3x − sin x) и уравнение примет вид

sin 3x = cos ^6x/₅

+ 2.

Такое возможно лишь при условии, что одновременно

cos ^6x/₅ = −1, а sin 3x = 1.

Поэтому данное в условии уравнение равносильно системе:

Не следует решать каждое из уравнений и отдельно записывать для них общие ограничения. Это не приведет к результату. Лучше начать с первого уравнения — его корни имеют простую запись, а затем отсеивать из решений первого уравнения те, что не удовлетворяют остальным требованиям. Итак, из уравнения cos ^6x/₅ = −1 найдем, что

^6x/₅ = π(2k + 1),   т. е.   x = 5(2k + 1)^π/₆.

Проверим, чему равняется при найденных x значение sin 3x. Поскольку

3x = 5(2k + 1)^π/₂ = 5πk + 5^π/₂,

то найти sin 3x мы сможем, рассмотрев две возможности: k = 2n, k = 2n + 1.

При k = 2n, т. е. k — четном

3x = 10πn + 5^π/₂ = 10πn + 2π + ^π/₂.

Мы выделили период и поэтому sin 3x при k = 2n равняется sin ^π/₂ = 1, т. е. второе уравнение системы удовлетворяется. Если же k = 2n + 1, т. е. k — нечетное, то

3x = 5π(2n + 1) + 5^π/₂ = 10πn + 5π + 2π + ^π/₂ = 10πn + 4π + π + ^π/₂,

т. е. sin 3x = −1. На этот раз второе уравнение системы не удовлетворяется.

Обоим уравнениям удовлетворяют значения x = 5(4n + 1)^π/₆. (Мы просто подставили k = 2n в найденное выше выражение для x.)

Перейдем к ограничению cos x ≠ 0. Преобразуем выражение для x

:

x = 20^πn/₆ + 5^π/₆ = 10^πn/₃ + 5^π/₆.

Чтобы при разных n вычислить cos x, нужно рассмотреть случаи n = 3m, n = 3m + 1, n = 3m − 1. (Обратите внимание, что вместо n = 3m − 1 можно рассматривать n = 3m + 2, но n = 3m − 1 удобнее.)

Для n = 3m получим

x = 10πm + 5^π/₆,   cos x = cos ^5π/₆ ≠ 0;

при n = 3m + 1:

x = 10π^{3m + 1}/₃ + 5^π/₆ = 10πm + 10^π/₃ + 5^π/₆ = 10πm + 25^π/₆ = 10π0 + 4π + ^π/₆,

т. е. cos x = cos ^π/₆ ≠ 0,

при n = 3m − 1:

x = 10π^{3m − 1}/₃ + 5^π/₆ = 10πm − 10^π/₃ + 5^π/₆ = 10πm − 15^π/₆

= 10πm − 2π − ^π/₂,

т. е. cos x = cos (−^π/₂) = 0.

Итак, значение n = 3m − 1 не подходит, а при остальных n ограничение cos x ≠ 0 удовлетворяется.

Остаются два варианта:

x = 5(12m + 1)^π/₆, x = 5(12m + 5)^π/₆, m = 0, ±1, ±2.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что cos 2 x ≠ 0 для каждого из найденных значений.

Ответ. 5(12m + 1)^π/₆; 5(12m + 5)^π/₆.

13.49. Обе части уравнения существуют, если cos x ≠ 0, sin 2x ≠ 0, cos 2x ≠ 0.

Все эти ограничения равносильны условию sin 4x ≠ 0, поскольку

sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 4 sin x cos x cos 2x.

Если sin 4x ≠ 0, то все последующие преобразования правомерны. Преобразуем левую часть, воспользовавшись соотношениями:

tg² x + 1 = ¹/_{cos² x}, cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x.

Тогда

Так как cos 2x ≠ 0, cos x ≠ 0, то

4 cos² x − 1 = ^{cos 3x}/_{sin x}.

Поскольку 2 cos² x = 1 + cos 2x и sin x ≠ 0, получим

2 cos 2x sin x + sin x = cos 3x,

или

sin 3x − sin x + sin x = cos 3x,

т. е. tg 3x

= 1, откуда 3x = ^π/₄ + πk = ^π/₄(4k + 1), k = 0, ±1, ±2, или x = ^π/₁₂(4k + 1).

Теперь нужно позаботиться о соблюдении ограничения sin 4x ≠ 0, т. е. 4x ≠ πn, x ≠ ^πn/₄.

Равенство

^π/₁₂(4k + 1) = ^πn/₄, или ^π/₃(4k + 1) = πn,   (8)

может иметь место, когда 4k + 1 делится на 3. Поэтому рассмотрим три случая: k = 3m, k = 3m + 1, k = 3m − 1. Тогда для 4k + 1 получим

4(3m) + 1 = 12m + 1,

4(3m + 1) + 1 = 12m + 5,

4(3m − 1) + 1 = 12m − 3 = 3(4m − 1).

Последний из вариантов должен быть исключен, так как именно в этом случае равенство (8) имеет место.

Ответ.^π/₁₂(12m + 1); ^π/₁₂(12m + 5).

13.50. Представим уравнение в виде

2(tg x + ctg 2x) + (tg ^x/₂ + ctg 2x) + (ctg 2x − ctg 3x) = 0.

Преобразуем

(Сокращение на cos x возможно, так как ограничение cos x ≠ 0 остается благодаря наличию множителя cos x в знаменателе sin 2x.)

Аналогично

(Во второй дроби sin x − общий множитель числителя и знаменателя. Однако сокращать на него не следует, хотя это и возможно).

Таким образом, уравнение примет вид: