Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

После сложения дробей в скобках получим числитель, который, шаг за шагом, преобразуем:

Итак, данное уравнение преобразовано к равносильному ему:

Нужно найти корни числителя, при которых знаменатель не обращается в нуль. Сомножитель cos x ≠ 0, так как в знаменателе есть sin 2x = 2 sin x cos x. Второй сомножитель тоже не равен нулю, так как входит множителем и в числитель, и в знаменатель. Остается sin ^5x/₂ = 0, что имеет место при ^5x/₂ = πk, т. е. при x = ^2πk/₅, где k = 0, ±1, ±2.

Отсеим из этого множества чисел значения, при которых знаменатель обращается в нуль. Это будет, когда k делится на 5, т. е. k = 5n.

При остальных k, т. е. при k = 5n ± 1 и k = 5n ± 2 знаменатель в нуль не обращается.

Ответ. 2π⁽⁵ⁿ ± 1)/₅, 2π⁽⁵ⁿ ± 2)/₅.

13.51. Ограничения sin t ≠ 0 и cos t ≠ 0 объединяет условие sin 2t ≠ 0. Учтем, что

sin 3t − sin t = 2 sin t cos 2t,    ctg² t + 1 = ¹/_{sin² t}.

Тогда уравнение (мы учли, что sin 2t ≠ 0) примет вид

или

Так как 2 cos² t = 1 + cos 2t, а 2 sin² t = 1 − cos 2t, то после сокращения дроби в левой части уравнения на cos 2t получим

cos t = ¹/_{2 cos 2t} − 1,

где cos 2t

 ≠ 0.

Если cos 2t ≠ ½, то

2 cos 2t cos t − cos t = 1,

или

cos 3t + cos t − cos t = 1,

т. е. cos 3t = 1 и t = ^2πk/₃ , k = 0, ±1, ±2, ... .

Остается учесть все ограничения:

sin 2t ≠ 0, cos 2t ≠ 0, cos 2t ≠ ½.

Условия sin t ≠ 0, cos t ≠ 0, cos 2t ≠ 0 можно объединить: sin 4t ≠ 0. Из значений неизвестного t = ^2πk/₃ нужно исключить те, при которых имеет место одно из равенств: sin 4t = 0 или cos 2t = ½. Первое равенство будет иметь место, когда k делится на 3, т. е. k = 3n. Остаются две возможности: k = 3m + 1 и k = 3m − 1. Итак, остались для проверки значения:

t = 2π^(3m + 1)/₃   и   t = 2π^(3m − 1)/₃.

Среди них не должно быть таких, что cos 2t = 1. Вычислим cos[2π^(3m + 1)/₃] и cos[2π^(3m − 1)/₃]

cos[2π^{(3m + 1)}/₃] = cos (2πm + ^2π/₃) = cos ^2π

/₃ = −½,

cos[2π^{(3m − 1)}/₃] = cos (2πm − ^2π/₃) = cos (−^2π/₃) = −½.

Ответ. 2π^(3m ± 1)/₃. 

Глава 14

Тригонометрические неравенства

14.1. Неравенство равносильно такому:

sin² x > cos² x,

т. е.

cos² x − sin² x < 0, cos 2x < 0,

откуда

^π/₂ + 2nπ < 2x < ^3π/₂ + 2nπ.

Ответ. ^π/₄ + nπ < x < ^3π/₄ + nπ.

14.2. Перепишем неравенство в виде

¹/_√2 cos x − ¹/_√2 sin x < −¹/_√2,

откуда

cos  (x + ^π/₄) < −¹

/_√2,

 т. е.

^3π/₄ + 2nπ < x + ^π/₄ < ^5π/₄ + 2nπ

Ответ.^π/₂ + 2nπ < x < π + 2nπ.

14.3. Способ 1. Неравенство sin x < 3 cos x равносильно совокупности трех систем

Решение каждой из них изображено на рис. P. 14.3.

Способ 2. Запишем данное неравенство так:

При использовании этих формул мы исключили из области существования левой части неравенства точки, в которых tg ^x/₂ не существует. Поэтому нужно подставить в исходное неравенство x = π(2n + 1). Убеждаемся, что

sin π(2n + 1) − 3 cos π(2n + 1) = 3,

т. е. эти точки не являются корнями неравенства.

Приходим к квадратному неравенству

3 tg² ^x/₂ + 2 tg ^x/₂ − 3 < 0,

откуда

Наиболее компактный ответ получается при решении неравенства первым способом.

Ответ. arctg 3 + π(2n + 1) < x < arctg 3 + 2πn.

14.4. Поскольку tg x входит в правую часть данного неравенства, замена sin 2x и cos 2x их выражениями через tg x приведет к равносильному неравенству. Обозначив tg x = y, получим

Так как 1 + y² > 0, то это неравенство равносильно такому:

y³ + 2y

² − y − 2 < 0.

Сгруппировав первый член с третьим, а второй с четвертым, разложим левую часть на множители:

(y + 2)(y + 1)(y − 1) < 0.

Решения этого неравенства будут лежать в интервалах

y < −2,   −1 < y < 1,

т. е.

tg x < − 2,   −1 < tg x < 1.

Ответ. −^π/₂ + nπ < x < −arctg 2 + nπ; −^π/₄ + nπ < x < ^π/₄ + nπ.

14.5. Способ 1. Неравенство равносильно совокупности двух систем

Начнем со второго неравенства. При решении обеих систем нам понадобятся радиусы, на которых tg 2x = 0 и tg 2x не существует, так как только в этих точках может произойти перемена знака.

Эти радиусы нанесены на рис. P.14.5, а и б, причем на первом горизонтальной штриховкой заштрихованы те секторы, где tg 2x < 0, а на втором — остальные секторы круга. Остается в первом случае выбрать секторы, в которых cos x ≥ 0, а во втором — в которых cos x ≤ 0.

Нанесем решения данного неравенства на общий чертеж (рис. P.14.5, в), после чего можно записать ответ.

Способ 2. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла и перепишем неравенство в виде

Формула, которую мы применили, является неабсолютным тождеством, так как в результате ее использования из области определения левой части неравенства исчезают значения x, при которых cos x = 0. Непосредственной подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что x = ^π/₂ + kπ — его корни. Отметив соответствующие радиусы на чертеже (рис. P.14.5, г), можем считать, что cos x ≠ 0, и решать неравенство

Когда sin x ≥ 0, то получим tg x < −1, tg x > 1 (рис. P.14.5, д), а когда sin x ≤ 0, то −1 < tg x < 1 (рис. P.14.5, e). Объединяя все решения на одном чертеже (не забывайте про рис. P.14,5, г), запишем окончательный ответ (см. рис. P.14.5, в).