Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

ДВА ОТСТУПЛЕНИЯ: СОВСЕМ КОРОТКОЕ И ЧУТЬ ПОДЛИННЕЕ

1. Поскольку я нежно люблю Италию, я никак не могу не упомянуть, что итальянский математик Чезаре Бурали-Форти (1861–1931) открыл нечто похожее на парадокс Рассела еще раньше его, в 1897 г. Он занимался исследованиями теории множеств и изучал концепцию так называемого «множества всех порядковых чисел».

2. Французский философ Жан Буридан также представил – еще в XIV в. – парадокс, очень похожий на парадокс брадобрея по Расселу. В главе VIII книги «Софизмы» (Sophismata), называющейся «Неразрешимое» (Insolubilia), Буридан рассказывает следующую историю:

Платон встречал своих учеников у некоего моста и не позволял никому перейти на другую сторону без его разрешения. Однажды к мосту пришел Сократ, который потребовал, чтобы Платон его пропустил. Платону не понравился тон, которым разговаривал с ним его учитель; он ответил: «Если первое утверждение, которое ты выскажешь, будет истинным, я тебя пропущу; если же первое утверждение, которое ты выскажешь, будет ложным, я брошу тебя в бурную воду». Сократ немного подумал и сказал: «Ты бросишь меня в воду».

Посмотрим, что тут происходит. Если Платон бросит Сократа в воду, значит, Сократ говорил правду и Платону не следовало бросать его в воду – он должен был пропустить Сократа через мост. А если Платон позволит Сократу спокойно перейти мост, значит, Сократ солгал, а следовательно, Платону следовало отправить его на встречу с бурным течением реки.

Вот и все, что я хотел сказать о Буридане.

Кстати говоря, почти точно такой же парадокс встречается в главе LI второго тома «Дон Кихота», где описано губернаторство Санчо Пансы на острове Баратария. Возможно, вы захотите немного отдохнуть от математики и прочитать эту замечательную главу. Вам понравится.

7

Гранд-отель «бесконечность» имени Гильберта

На планете Проксима-Инфинитас, которая расположена на расстоянии тысяч световых лет от Земли и любого другого места, находится одно из чудес современной архитектуры. На этой планете построена гостиница, созданная на основе концепций математика Давида Гильберта. Гостиница названа его именем и входит в сеть роскошных отелей «Давид Гильберт». Каждый из этажей гостиницы состоит из одного номера, в котором размещается один-единственный постоялец. Число номеров в гостинице бесконечно, но, несмотря на бесконечное количество номеров, гостиница имеет всего один метр в высоту. Строители – ООО «Зенон» – построили гостиницу следующим образом: высота первого этажа составляет полметра, высота второго – четверть метра, третьего – одну восьмую метра и так далее – до бесконечности. Попытайтесь представить себе, как эта гостиница выглядит с высоты птичьего полета. Размеры номеров не беспокоят постояльцев гостиницы, потому что в ней останавливаются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6… Каждое число живет на этаже, номер которого равен этому числу. Гостиница всегда полностью заселена. В число ее сотрудников, которые живут на первом этаже соседнего здания, входят администратор Омега, портье Эпсилон и две горничные, сестры Сигма и Лямбда (Сигма обслуживает нечетные номера, а Лямбда – четные).